Circuitos
eléctricos
La
intensidad de las corrientes y las caídas de voltaje en un circuito eléctrico
se rigen por las Leyes de Kirchhoff.
LEY
DE KIRCHHOFF DE LA CORRIENTE: La suma algebraica de todas las corrientes
en cualquier nodo es cero.
LEY
DE KIRCHHOFF DEL VOLTAJE: La suma algebraica de todos los cambios de
potencial en cualquier bucle es cero.
Una
aplicación frecuente de estas leyes es cuando se conoce el voltaje de la fuerza
electromotriz E (que por lo general es una batería o generador) y los ohmios Rj
de las resistencias, y se pide calcular la intensidad ij de las corrientes, que
circulan por cada segmento del circuito.
Obsérvese
que para cada elemento en el circuito hay que elegir una dirección positiva
para medir la corriente que pasará a través de dicho elemento. Las elecciones
se indican con flechas. Para la fuente de voltaje E se toma como positivo el
sentido del polo negativo al positivo. Dicha elección condicionará también el
signo de los cambios de potencial en las resistencias. El cambio de potencial a
través de las resistencias será negativo cuando dicho cambio se mida en el
mismo sentido que la corriente, y positivo en el caso contrario.
Ejemplo:
En los
nodos A y B tenemos: i1 -i2 -i3 = 0
En el
bucle L1 tenemos: E-R1i1-R2i2-R3i3 =
0
En el
bucle L2: R1i1-R2i2-R3i3
= 0
1.
Planteamiento
del problema
Las
matrices tienen un número cada vez más creciente de aplicaciones en la solución
de problemas en Ciencia y Tecnología.
Se
aplicarán aquí al cálculo de corrientes en una “red eléctrica”. Se dará
tratamiento especial al recálcalo de las intensidades de las corrientes en cada
“bucle” de la red cuando se modifican las fuerzas electromotrices de las
fuentes, debido a fallas o cambios en las mismas.
Ilustraremos
esto a partir de un ejemplo:
El
siguiente diagrama presenta un modelo sencillo de una red eléctrica constituida
por baterías, cables y resistencias.
A partir
de las leyes de Kirchhoff que señalan que la suma de las fuerzas
electromotrices de fuentes (baterías u otros generadores de energía) en cada
“bucle” de la red es igual a la suma de los productos IR (intensidad x resistencia),
se llega al sistema de ecuaciones lineales simultáneas:
76i1
|
-25i2
|
-50i3
|
=1 0
|
-25i1
|
+56i2
|
-i3
|
= 0
|
-50i1
|
-i2
|
+106i3
|
= 0
|
Tal matriz se obtiene por el método del análisis de corrientes por bucles, después de la simplificación del mismo.
Observemos
que los números 76, 56, 106 de la diagonal son la suma de las resistencias en
cada uno de los bucles.
Los
números –25 y –50 y –1 corresponden a las resistencias que se hallan en ramales
comunes a los bucles vecinos.
Esta es la
razón por la cual la matriz, en este caso es obtenida por el método del
análisis de corrientes por bucles, es diagonalmente dominante.
La
positividad de los elementos de la diagonal, obtenidos por el análisis de
corrientes por bucles, junto con la diagonal dominancia, llevan a lo que la
matriz obtenida sea positivo definida y que sus auto valores sean positivos.
Ello garantiza además que los pivotes que aparecen en el método de Gauss sean
diferentes de 0 y la matriz sea invertible, por esto Hallamos la inversa de la
misma forma que lo hicimos en el ejercicio de criptografía utilizando el método
de la matriz ampliada.
A
|
|||||||||||||||||||||||||
Realizando
las operaciones ya conocidas obtenemos la inversa de A.
A-1
|
||||||
0
|
0
|
!
|
3/946
|
1/587
|
13/811
|
|
0
|
1
|
0
|
¡
|
1/881
|
17/919
|
1/133
|
0
|
0
|
1
|
!
|
-2/127
|
-1/150
|
13/631
|
Luego
multiplicamos la matriz inversa por la matriz de coeficientes.
A-1
23/939
|
4/359
|
9/772
|
4/359
|
18/785
|
4/731
|
9/772
|
4/731
|
4/267
|
10
|
0
|
0
|
i1
|
i2
|
i3
|
133/543
|
39/7350
|
97/832
|
0,24493554
|
0,11142857
|
0,11658654
|
Las corrientes de cada malla son:
Ø I1= 0,24493554
Ø I2= 0,11142857
Ø I3 = 0,11658654
1 comentario:
Amigo, podrías publicar el diagrama del problema? es que esta información me sirve mucho para una exposición que tengo y necesariamente ese diagrama es de mucha importancia.
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