Aplicacion de las matrices en la criptografia

ALEXANDER ARISTIZABAL OSORIO

AREA: INGENIERIA EN ELECTRONICA

PROFESOR: HUGO HERNAN ORTIZ

6 SEMESTRE

UNIVERSIDAD DE CALDAS

Manizales

Tabla de Contenido

1.    Aplicación de las matrices en criptografía.

Ø  Definición de criptografía

Ø  Historia de la criptografía

Ø  Ejercicio de aplicación con matrices

2.    Aplicación de las matrices en circuitos eléctricos.

Ø  Ley de kirchhoff de la corriente.

Ø  Ley de kirchhoff del voltaje.

Ø  Ejercicio de aplicación con matrices

                    

3.    Resumen.

4.    Objetivos del proyecto

Ø  Objetivos generales

Ø  Objetivos específicos

APLICACIÓN DE LAS MATRICES EN CRIPTOGRAFÍA

Definición de criptografía:

La criptografía es la técnica, la ciencia o arte de la escritura secreta. El principio básico  de la criptografía es mantener la privacidad de la comunicación entre dos personas alterando el mensaje original de modo que sea incomprensible a toda persona distinta al destinatario.

Historia de la criptografía:

El primer caso claro de métodos criptográficos se dio durante la guerra entre Atenas y Esparta, por parte de los lacedemonios. El cifrado se basaba en la alteración del mensaje original mediante la inclusión de símbolos innecesarios que desaparecían al enrollar el mensaje en un rodillo llamado escitala. Aún sabiendo la técnica utilizada, si no se tenían las dimensiones exactas, un posible interceptor del mensaje tenía muy difícil su criptoanálisis.

En este caso vamos a utilizar una tabla donde cada letra corresponde a un numero designado por nosotros, y con esto procedemos a escribir el mensaje ya convertido en números con la tabla mencionada, formando matrices de 3x3, las cuales serán multiplicadas una a una por una matriz codificadora también de 3x3, que nosotros elegimos. Luego utilizaremos su inversa para decodificar y así obtener el mensaje original.

Para codificar un mensaje los elementos que se requieren son:

Ø  Un emisor

Ø  Un receptor

Ø  Un mensaje

Ø  Un código

-	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	O	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26

A continuación veremos la tabla y su respectivo uso.

Cada casilla debajo de cada letra corresponde al valor de la letra ej. A= 1, B=2, C=3, D=4 y lo mismo para el resto de las letras.

Ejercicios de aplicación:

Ahora procedemos a escribir el mensaje en la siguiente tabla

S

E

X

T

O

-

S

E

M

E

S

T

R

E

-

I

N

G

E

N

I

E

R

I

A

-

M

E

C

A

T

R

O

N

I

C

A

-

U

C

A

L

D

A

S

19	5	24	20	15	0	19	5	13	5	19	20	18	5	0
9	14	7	5	14	9	5	18	9	1	0	13	5	3	1
20	18	15	14	9	3	1	0	21	3	1	12	4	1	19

Luego vamos a cambiar cada letra por su número correspondiente en la tabla anterior.

El siguiente paso es dividir la tabla en matrices de 3x3, y multiplicar cada matriz por la que vamos a usar como codificadora.

texto transformado en matrices																			matriz de codificación
A				B				C				D				E				M
19	5	24		20	15	0		19	5	13		5	19	20		18	5	0		3	-2	2
9	14	7		5	14	9		5	18	9		1	0	13		5	3	1	X	-2	1	3
20	18	15		14	9	3		1	0	21		3	1	12		4	1	19		1	-1	-4

Primero multiplicamos cada entrada de la fila de las matrices a codificar por cada entrada de las filas de la matriz de codificación y sumamos dichos resultados para obtener las matrices (A)(M), (B)(M), (C)(M), (D)(M), (E)(M).

En este caso vamos a tomar como ejemplo la primera fila de la matriz (A) (M).

Primera entrada de (A) (M) = (19) (3) + (5) (-2) + (24) (1) = 57 -10 + 24 = 71

Segunda entrada de (A) (M) = (19) (-2) + (5) (1) + (24) (-1) = -38 + 5 -24 = -57

Tercera entrada de (A) (M) = (19) (2) + (5) (3) + (24) (-4) = 38 +15 -96 = -43

(A)(M)				(B)(M)				(C)(M)				(D)(M)				(E)(M)
71	-57	-43		30	-25	85		60	-46	1		-3	-11	-13		44	-31	51
6	-11	32		-4	-5	16		-12	-1	28		16	-15	-50		10	-8	15
39	-37	34		27	-22	43		24	-23	-82		19	-17	-39		29	-26	-65

Ahora vamos unir todas las matrices en una tabla, e ingresamos la letra correspondiente a cada número teniendo en cuenta lo siguiente.

Ø  Si el número es mayor de 26, se divide dicho valor entre 26, que es el número de casillas que tiene la tabla de valores inicial, y ponemos el valor de su residuo en la siguiente tabla.

Ej. 

71÷ 27 = 2 y su residuo es 17, que es igual a la letra (Q)

57÷27 = 2 y su residuo es 3, que equivale a la letra (C)

43÷27 = 1 y su residuo es 16 que corresponde a la letra (P)

Nos da como resultado esta tabla, la cual comparamos con la del mensaje original, y son totalmente diferentes; con esto ya quedo encriptado dicho mensaje

Q

C

P

Y

D

S

F

S

A

C

K

M

Q

D

X

F

K

E

D

E

P

L

A

A

P

O

W

J

H

O

L

-

G

-

V

P

X

W

A

S

Q

L

B

Z

K

.

Para que el receptor pueda decodificar esta tabla  debe conocer lo siguiente:

•   La tabla de valores de cada letra.
• La cantidad de casillas de la tabla.
• La matriz de codificación.
•  La inversa de la matriz de codificación.
• El procedimiento para hallar la letra de un numero mayor de la cantidad de datos

Decodificar el mensaje.

Con dicha información procedemos a decodificar de nuevo el mensaje.

• Primero dividimos la tabla que nos manda el emisor en matrices de 3X3
• Luego necesitamos hallar la inversa de la matriz de codificación
•   Después multiplicamos la matriz inversa por cada una de las matrices
•   Unimos las matrices nuevamente y obtenemos el mensaje original

Mensaje recibido
71	-57	-43	30	-25	85	60	-46	1	-3	-11	-13	44	-31	51
6	-11	32	-4	-5	16	-12	-1	28	16	-15	-50	10	-8	15
39	-37	34	27	-22	43	24	-23	-82	19	-17	-39	29	-26	-65

Hallamos la matriz inversa de la codificadora, con el método de la matriz ampliada

 Procedemos a realizar la multiplicación de las matrices con la inversa como se indico en el paso de codificación, y nos da como resultado el mensaje original.

																				M-1
71	-57	-43		30	-25	85		60	-46	1		-3	-11	-13		44	-31	51		-1/9	-10/9	-8/9
6	-11	32		-4	-5	16		-12	-1	28		16	-15	-50		10	-8	15		-5/9	-14/9	-13/9
39	-37	34		27	-22	43		24	-23	-82		19	-17	-39		29	-26	-65		1/9	1/9	-1/9

Ej.

(71) (-1/9) + (-57) (-5/9) + (-43) (1/9) = -71/9 + 95/3 -43/9 =19

texto transformado en matrices
A				B				C				D				E
19	5	24		20	15	0		19	5	13		5	19	20		18	5	0
9	14	7		5	14	9		5	18	9		1	0	13		5	3	1
20	18	15		14	9	3		1	0	21		3	1	12		4	1	19

Luego reemplazamos los números por sus letras correspondientes y nos da el significado del mensaje.

S

E

X

T

O

-

S

E

M

E

S

T

R

E

-

I

N

G

E

N

I

E

R

I

A

-

M

E

C

A

T

R

O

N

I

C

A

-

U

C

A

L

D

A

S